Диагонали равнобедренной трапеции равны

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ. Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k2.
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т. Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Видео

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180- МЕТ = 180- КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α

c = h = ab
sin α2 cos α
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
a = d12c2       b = d12c2       c = √d12ab
ba
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
a = 2Sb      b = 2Sa
hh
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
с = S
m sin α

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе: с  = 2S (a + b ) sin α

Вписанная и описанные окружности

Интересно, что вписать в трапецию окружность можно только при определенном условии. И это условие выполняется, если мы попарно сложим противоположные стороны нашего четырехугольника, и эти суммы окажутся равны. 

Найти радиус этой окружности не составит труда. Нужно просто разделить высоту пополам.

А вот с описанной окружностью все не так гладко. Есть различные полезные формулы. Например, если диагональ составляет с основанием прямой угол, то диаметр описанной окружности будет равен противоположному основанию трапеции.

Теперь разберемся с формулой нахождения радиуса. К слову, она здесь не очень простая. Сначала найдем p — полупериметр ∆DBC, а затем просто применим его в следующей формуле:

Математика бесспорно является матерью всех современных наук. Она по праву занимает свой престол и управляет абсолютно всеми мировыми законами. 

Одной из наиболее интересных подразделений математики принято считать именно геометрию. Ее фигуры также подчиняются математическим правилам и формулам, поэтому она необходима при различных сложных расчетах.

Теги

Adblock
detector