Как найти координаты вектора по двум точкам

Примеры решений

Пример 1
Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ \overline{AB} $ и $ \overline{BA} $
Решение

Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ \overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем:

$$ \overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$

Теперь посмотрим на вектор $ \overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем:

$$ \overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$

Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ \overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ \overline{BA} = (1;1;-5) $$

Видео

Выбор системы координат

Ну вот, теперь у нас есть весь необходимый фундамент знаний, чтобы решать сложные стереометрические задачи по геометрии.

Однако прежде чем приступать непосредственно к примерам и алгоритмам их решения, я считаю, что будет полезно остановиться еще вот на каком вопросе: как именно выбирать систему координат для той или иной фигуры.

Ведь именно выбор взаимного расположения системы координат и фигуры в пространстве в конечном счете определит, насколько громоздкими будут вычисления.

Я напомню, что в этом разделе мы рассматриваем следующие фигуры:

  • куб;
  • Прямоугольный параллелепипед;
  • Прямая призма (треугольная, шестиугольная…);
  • Пирамида (треугольная, четырехугольная);
  • Тетраэдр (одно и то же, что и треугольная пирамида).

Для каждой из фигур я дам практические рекомендации, как выбирать систему координат.

Проекция на ось координат

Определить координаты отрезка возможно различными способами. Один из них — использование проекции. Другими словами, изображаются в координатных плоскостях начало и конец вектора, которые соединяются прямой линией. Откладывать расположение точек нужно в соответствии с используемым масштабом. После с помощью перпендикулярных координатным осям линий на них переносят расположение начала и конца вектора, то есть как бы проецируют отрезок на оси.

При этом если направление перенесённого вектор совпадает с направлением оси, то проекция обозначается со знаком плюс, если же оно противоположное — со знаком минус. Обозначают перенос отрезков символом ПР. Существуют несколько свойств, характерных для проекции:

  1. Если в плоскости находится два и более отрезка, равных между собой, то их проекции на одну и ту же ось будут одинаковыми.
  2. Два отличающихся на величину m отрезка при проецировании будут равными, если проекцию одного из них увеличить или уменьшить на это число: ПР (mAB) = mПР (AB).
  3. Проекция отрезка AB на ось P может быть определена как произведение ограниченной линии на косинус угла между ней и направлением оси в положительную сторону от этой оси: ПР (АB) = |AB| * cos (AB;P).
  4. Проекция, полученная сложением двух отрезков на произвольно выбранную ось, равняется сумме перенесённых векторов на эту же ось.
  5. Серединой проекции называют равноудалённое расстояние от двух концов отрезка, перенесённого на координатную ось. Определяется она как (A + B) / 2. При этом всегда совпадает с действительной серединой вектора.

Если отрезок располагается перпендикулярно оси, то его проекцией будет точка. Для декартовой системы координат в записи вектора на одном из мест будет стоять ноль. Например, AB (0; 1) или AB (-3; 0). Для задания направления в пространстве применяют так называемый единичный вектор.

Другими словами, он является отрезком нормирования пространства и обозначает масштаб проекции. Его выбирают в качестве базисного вектора, что заметно помогает упростить расчёты. Для того чтобы его вычислить, необходимо вектор разделить на длину: e = AB / | AB |. Такая операция называется нормированием.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора Требуется найти сумму данных векторов. В силу того и 
: Требуется найти сумму данных векторов. В силу того

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор конца от конца вектора 
: Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего

Суммой векторов Кстати, если вектор  отложить от начала вектора ,  и Кстати, если вектор  отложить от начала вектора ,  является вектор Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , , а затем по вектору Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , . Тогда сумма векторов Кстати, если вектор  отложить от начала вектора ,  представляет собой вектор результирующего пути Кстати, если вектор  отложить от начала вектора ,  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор начала отложить от начала вектора правило параллелограмма, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: Произведением ненулевого вектора  на число  являет, при этом возможна детализация: Произведением ненулевого вектора  на число  являет (векторы сонаправлены) или Произведением ненулевого вектора  на число  являет (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора Правило умножения вектора на число легче понять с  на число Правило умножения вектора на число легче понять с  является такой вектор Правило умножения вектора на число легче понять с , длина которого равна Правило умножения вектора на число легче понять с , причём векторы  Правило умножения вектора на число легче понять с  и Правило умножения вектора на число легче понять с  сонаправлены при Правило умножения вектора на число легче понять с  и противоположно направлены при Правило умножения вектора на число легче понять с .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка: Разбираемся более детально:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель меняет направление отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, или уменьшается, то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, в два раза меньше длины вектора 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны,. Если множитель увеличивается по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, Обратное тоже  справедливо. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы Какие векторы  являются равными? сонаправлены. Векторы Какие векторы  являются равными? и Какие векторы  являются равными? также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Предел

Это интересно!

Предел (лимит) от латинского слова «limes», что означает цель.

Понятие предела независимо друг от друга было введено английским математиком Исааком Ньютоном (1642-1727) и немецким математиком Готфридом Лейбницом (1646-1716). Однако ни Ни Ныотон, ни Лейбниц не смогли полностью объяснить вводимые ими понятия. Точное определение предела было дано французским математиком Коши. А работы немецкого ученого » Вейерштрасса наконец завершили создание этой серьезной теории.

Задачи на вычисление расстояния

  • Вычисление расстояния от точки до плоскости
  • Вычисление расстояния от прямой до плоскости
  • Вычисление расстояния точки до прямой
  • Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Я упорядочил данные задания по мере увеличения их сложности. Наиболее просто оказывается найти расстояние от точки до плоскости, а самое сложное – найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

Хотя, конечно, нет ничего невозможного! Давай не будем откладывать в долгий ящик и сразу приступим к рассмотрению первого класса задач:

Теги

Adblock
detector