Логарифм ⚠ в степени числа

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. loga x + loga y = loga (x · y);
  2. loga x − loga y = loga (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Видео

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение .

Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– верно.

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

(a^<log_>=c)

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения (36^<log_<6><5>>)

Зная формулу ((a^)^=a^), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например,

lg ( x y ) = lg x + lg y ( x > 0, y > )

.

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e – иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам:

log a b = lg b lg a = ln b ln a ( a > 0, a 1, b > )

Виды логарифмов

Логарифм положительного числа b по основанию a (loga b) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b. b > 0, a > 0, а≠ 1.

Для определения основания логарифма необходимо сна

Для определения основания логарифма необходимо сначала определить его вид и, исходя из полученных результатов, по формуле и таблице сравнить корректность полученных значений. Это и будет основанием логарифма.

Чтобы решить логарифм необходимо понять, что a в степени x будет равно b, т.е. в какую степень x необходимо возвести основание логарифма a, чтобы получить значение b.

Примеры логарифмов:

В данных примерах можно увидель сложные и простые логарифмы, решение которых показывает, что всякий тождественный логарифм находится в пропорции его основания, за исключением вводных данных.

Конечно, основание логарифма пропорционально его значению, что приводит к равенству обратного значения. Это также необходимо учесть при рассмотрении равенства, кроме случаев, когда логарифм переностися с левой части равенства в правую.

log2 8 = 3 (логарифм 8 по основанию 2), так как 23 = 8

log7 49 = 2 (логарифм 49 по основанию 7), так как 72 = 49

log5 15 = -1 (логарифм 15 по основанию 5), так как 5-1 = 15

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — логарифм по основанию

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Десятичный логарифм может быть не только как равенство степеней, но и показывать их различия. Наиболее хорошо это видно при разложении логарифма на члены в качестве констант a и b.

Конечным результатом решения десятичного логарифма является его сходство с натуральным логарифмом.

lg bдесятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10)

Примеры десятичных логарифмов:

lg 100 = 2десятичный логарифм обозначается именно так (lg), это десятичный логарифм ста;

log10 100 = 2 (другое обозначение десятичного логарифма), так как 102 = 100. Но, строго говоря, это логарифм по основанию 10. Он будет иметь то же значение, что и десятичный логарифм.

Натуральный логарифм

При решении натурального логарифма его основа будет схожей с десятичным логарифмом за исключением того, что вместо числа 10 будет использоваться постоянная константа e.

Ещё одной особенностью натурального логарифма будет его неравенство по отношению к обратной функции.

Но стоит не приравнивать такое основание логарифма к прямой константе из-за большой разности при выборе метода подсчета логарифма.

ln bнатуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e)

Можно провести аналогию с десятичным логарифмом, только здесь не число 10, а постоянная e; e 2.72.

Примеры логарифмов с решением, пояснения

Задача 1

Дано выражение, значение которого требуется определить:

\(\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25\)

Решение

Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:

\(\log _{a} a=1.\)

Выполним вычисления:

\(\log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25=\log _{2} 2^{-3}+\log _{5} 5^{2}=-3 \cdot \log _{2} 2+2 \cdot \log _{5} 5=-3+2=-1\)

Ответ: \( \log _{2} \frac{1}{8}+\log _{5} 25=-1\)

 

 Требуется упростить следующее выражение:

\(2 \log _{7} 4-\log _{7} 8\)

Решение

Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:

\(2 \log _{7} 4-\log _{7} 8=\log _{7} 4^{2}-\log _{7} 8=\log _{7} 16-\log _{7} 8=\log _{7} \frac{16}{8}=\log _{7} 2\)

Ответ: \(2 \log _{7} 4-\log _{7} 8=\log _{7} 2\)Задача 2

Задача 3

Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:

\(lo{{g}_{5}}250-{{\log }_{5}}2\)

Решение

Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:

\({{\log }_{5}}250={{\log }_{5}}\left( 125\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}\left( {{5}^{3}}\cdot 2 \right)={{\log }_{5}}{{5}^{3}}+{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2\)

Заметим, что:

\({{\log }_{5}}250-{{\log }_{5}}2=3+{{\log }_{5}}2-{{\log }_{5}}2=3\)

Ответ: 3.

Задача 4

Нужно упростить следующее выражение:

\(\log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}3\)

Решение

Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:

\(\log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}=\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right).\)

Тогда, согласно свойствам логарифма:

\(\log _{2}^{2}2\sqrt{3}-\log _{2}^{2}\sqrt{3}-{{\log }_{2}}3= \left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}-{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)\left( {{\log }_{2}}2\sqrt{3}+{{\log }_{2}}\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}2\cdot {{\log }_{2}}\left( 2\cdot 3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\cdot \left( 1+{{\log }_{2}}3 \right)-{{\log }_{2}}3=1\)

Ответ: 1.

Задача 5

Необходимо определить значение следующего выражения:

\(\frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}\)

Решение

Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:

\(\frac{{{\log }_{2}}25}{{{\log }_{2}}5}=\frac{{{\log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{\log }_{2}}5}=\frac{2{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}5}=2\)

Ответ: 2.

Теги

Adblock
detector